Abstract The counting tasks with patterns are a privileged context for the development of algebraic reasoning. The onto-semiotic complexity of tasks allows the identification of study processes to improve performance in successive algebrization levels, from purely arithmetic manipulation to a practice with a consolidated algebraic level. The objective is twofold: on the one hand, to elaborate indicators that allow evaluating the performance of an operative and discursive practice in the task resolution of counting patterns. On the other hand, to propose a sequence that takes into account the epistemological, cognitive, and teaching restrictions common to these practices. A pre-test and post-test design is proposed using an open-ended questionnaire. A qualitative analysis is carried out through a case study, which provides relevant information on the development of the subjects' algebraic reasoning in the successive algebrization levels. It is concluded that Flexible Mathematical Thinking is a key indicator of the subjects’ algebraic competence; we also provided a teaching sequence that start from a basic strategy based on concrete manipulations and close generalizations to the analysis of different analytical expressions.

Resumen Las tareas de recuento con patrones son un contexto privilegiado para el desarrollo del razonamiento algebraico. La complejidad ontosemiótica de las tareas permite identificar procesos de estudio para hacer progresar el desempeño en sucesivos niveles de algebrización, desde la manipulación meramente aritmética hasta una práctica con un nivel algebraico consolidado. El objetivo es doble: por un lado, elaborar indicadores que permitan valorar el desempeño de una práctica operatoria y discursiva en la resolución de tareas de recuento de patrones; por otro lado, proponer una secuencia que tenga en cuenta las restricciones epistemológicas, cognitivas y de enseñanza propias de estas prácticas. Un diseño pre-test y post-test mediante un cuestionario de preguntas abiertas y el análisis cualitativo de las respuestas por estudio de casos aporta información relevante sobre el desarrollo del razonamiento algebraico de los sujetos en los sucesivos niveles de algebrización. Se concluye que el Pensamiento Matemático Flexible es un indicador clave de la competencia algebraica de los sujetos, y se aporta una secuencia de enseñanza que parte de una estrategia inicial, basada en manipulaciones concretas y generalizaciones cercanas hasta el análisis de distintas expresiones analíticas.

The introduction of algebraic reasoning in primary education is a subject of interest for research and curricular innovation in mathematics education, which supposes an extended vision of the nature of school algebra. In this paper we propose a way to conceive of algebraic reasoning based on the types of mathematical objects and processes introduced in the onto-semiotic approach to mathematical knowledge. In particular, considering a mathematical practice as algebraic is based on the intervention of generalization and symbolization processes, along with other objects usually considered as algebraic, such as binary relations, operations, functions and structures. This way to conceive of elementary algebra is based on and compared to the characterizations given by other authors. We also propose a typology of algebraic configurations that allows defining degrees of algebrization of mathematical activity.

La introducción del razonamiento algebraico en educación primaria es un tema de interés para la investigación e innovación curricular en didáctica de las matemáticas, y presupone una visión ampliada de la naturaleza del álgebra escolar. En este trabajo proponemos una manera de concebir el razonamiento algebraico, basada en los tipos de objetos y procesos matemáticos introducidos en el enfoque ontosemiótico del conocimiento matemático. En síntesis, la consideración de una práctica matemática como algebraica se basará en la intervención de procesos de generalización y simbolización, junto con otros objetos usualmente considerados como algebraicos, tales como relaciones binarias, operaciones, funciones y estructuras. Esta forma de concebir el álgebra elemental es contrastada con las caracterizaciones dadas por otros autores. Asimismo, proponemos una tipología de configuraciones algebraicas que permite definir grados de algebrización de la actividad matemática.

Presentamos un sistema de nociones teóricas para describir los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas y valorar la idoneidad didáctica de tales procesos desde una perspectiva global. Dicha idoneidad se concibe como la articulación coherente y eficaz de las distintas dimensiones implicadas en los procesos de estudio matemático: epistémica, cognitiva, interaccional, mediacional, emocional y ecológica. El “enfoque ontosemiótico” de la cognición e instrucción matemática aporta una categorización de los elementos intervinientes en cada una de dichas dimensiones, estructurándolos en configuraciones de procesos, objetos y relaciones. Esta categorización y estructuración permiten explicar algunos fenómenos didácticos en términos de la complejidad ontosemiótica implicada. Las nociones teóricas introducidas se aplican al análisis del proceso de estudio realizado en una experiencia de enseñanza de la noción de función con estudiantes universitarios.

We propose a system of theoretical notions to describe teaching and learning mathematics processes and to assess the didactical suitability of these processes from a global perspective. The didactical suitability is conceived as the coherent and efficient articulation of the different dimensions involved in teaching and learning mathematics: epistemic, cognitive, interactive, mediational, emotional and ecological dimensions. The “onto-semiotic approach” to mathematical cognition and instruction provides a categorization of elements composing each dimension, structuring these elements into epistemic cognitive and didactical configurations. This categorization and structuring allow explaining some didactical phenomena in terms of the onto-semiotic complexity involved. The set of theoretical notions are applied to analyze a teaching experience on the function notion with university students.

Dans ce travail, nous analysons et comparons les notions que proposent la Théorie de Situations Didactiques, la Théorie Anthropologique du Didactique et la Théorie des Champs Conceptuels pour étudier les procédés de cognition mathématique, ainsi que les apports de la Dialectique outil-objet et des Registres de Représentation Sémiotique. L'objectif est d'identifier les ressemblances, les différences et les complémentarités de ces modèles théoriques, afin de pouvoir prétendre avancer vers un cadre unifié pour l'étude des phénomènes cognitifs et instructionels dans la didactique des mathématiques. De même, nous montrerons dans quel sens l'ontologie mathématique qui est proposée dans l' Approche Ontosémiotique, et la notion de fonction sémiotique peuvent contribuer au progrès et à l'articulation cohérente de ces théories.

Neste trabalho analisamos e comparamos as noções que propõe a Teoria de Situações Didáticas, a Teoria Antropológica do Didático e a Teoria de Campos Conceituais para estudar os processos de cognição matemática, assim como as contribuições da Dialética instrumento-objeto e dos Registros de Representação Semiótica. O objetivo principal consiste em identificar as semelhanças, diferenças e complementariedades desses modelos teóricos com a pretensão de avançar até um marco unificado para o estudo dos fenômenos cognitivos e instrucionais em didática da matemática. Também mostraremos em que sentido a ontologia matemática, proposta no Enfoque Ontosemiótico, junto com a noção de função semiótica, podem contribuir para o progresso e articulação coerente de tais teorias.

In this work we analyze and compare the notions that propose the Theory of Didactic Situations, the Anthropological Theory of Didactic and the Theory of the Conceptual Fields to study the processes of mathematical cognition, as well as the contribution of the Dialectic instrument-object and of the Semiotic Representation Registers. The purpose is to identify the similarities, differences and complements of these theoretical models with the pretension of advancing toward a unified framework for the study of the cognitive and instructional phenomena in mathematics teaching. Also, we will show in what sense the mathematical ontology that is proposed in the Ontosemiotic Approach, along with the notion of semiotic function, can contribute to the progress and coherent articulation of these theories.

En este trabajo analizamos y comparamos las nociones que proponen la teoría de situaciones didácticas, la teoría antropológica de lo didáctico y la teoría de los campos conceptuales para estudiar los procesos de cognición matemática, así como los aportes de la dialéctica instrumento-objeto y de los registros de representación semiótica. El fin consiste en identificar las semejanzas, diferencias y complementariedades de estos modelos teóricos con la pretensión de avanzar hacia un marco unificado para el estudio de los fenómenos cognitivos e instruccionales en didáctica de las matemáticas. Asimismo, mostraremos en qué sentido la ontología matemática que se propone dentro del enfoque ontosemiótico, junto con la noción de función semiótica, pueden contribuir al progreso y articulación coherente de dichas teorías.